(2012•郴州)閱讀下列材料:
    我們知道,一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線,而y=kx+b經(jīng)過恒等變形可化為直線的另一種表達(dá)形式:Ax+Bx+C=0(A、B、C是常數(shù),且A、B不同時(shí)為0).如圖1,點(diǎn)P(m,n)到直線l:Ax+By+C=0的距離(d)計(jì)算公式是:d=
|A×m+B×n+C|
A2+B2


    例:求點(diǎn)P(1,2)到直線y=
5
12
x-
1
6
的距離d時(shí),先將y=
5
12
x-
1
6
化為5x-12y-2=0,再由上述距離公式求得d=
|5×1+(-12)×2+(-2)|
52+(-12)2
=
21
13

    解答下列問題:
    如圖2,已知直線y=-
4
3
x-4
與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=x2-4x+5上的一點(diǎn)M(3,2).
    (1)求點(diǎn)M到直線AB的距離.
    (2)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB面積的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)將直線AB的解析式y(tǒng)=-
4
3
x-4轉(zhuǎn)化為直線的另一種表達(dá)方式4x+3y+12=0,由閱讀材料中提供的點(diǎn)到直線的距離公式,即可求出M點(diǎn)到直線AB的距離;
(2)假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積最小,設(shè)P坐標(biāo)為(a,a2-4a+5),然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P點(diǎn)到直線AB的距離d,由二次函數(shù)y=3a2-8a+27中根的判別式小于0,得到此二次函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)且開口向上,得到函數(shù)值恒大于0,根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身進(jìn)行化簡(jiǎn),然后根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求出y=3a2-8a+27的最小值,以及此時(shí)a的值,進(jìn)而確定出d的最小值以及此時(shí)P的坐標(biāo),再由直線AB的解析式,令x=0和y=0求出對(duì)應(yīng)的y與x的值,確定出OA與OB的長(zhǎng),在直角三角形AOB中,利用勾股定理求出AB的長(zhǎng),由底AB乘以高d的最小值除以2,即可得出△PAB面積的最小值.
解答:解:(1)將直線AB變?yōu)椋?x+3y+12=0,
又M(3,2),
則點(diǎn)M到直線AB的距離d=
|12+6+12|
42+32
=6;

(2)假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積最小,設(shè)P坐標(biāo)為(a,a2-4a+5),
∵y=3a2-8a+27中,△=64-12×27=-260<0,
∴y=3a2-8a+27中函數(shù)值恒大于0,
∴點(diǎn)M到直線AB的距離d=
|4a+3(a2-4a+5)+12|
42+32
=
3a2-8a+27
5
,
又函數(shù)y=3a2-8a+27,當(dāng)a=
4
3
時(shí),ymin=
65
3
,
∴dmin=
65
3
5
=
13
3
,此時(shí)P坐標(biāo)為(
4
3
13
9
);
又y=-
4
3
x-4,令x=0求出y=-4,令y=0求出x=-3,
∴OA=3,OB=4,
∴在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理得:AB=
32+42
=5,
∴S△PAB的最小值為
1
2
×5×
13
3
=
65
6
點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),勾股定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),以及點(diǎn)到直線的距離公式,其中理解題中的閱讀材料,靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)在四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA上的一點(diǎn),且
AE
EB
=
BF
FC
=
AH
HD
=
DG
GC
=k(k>0).閱讀下段材料,回答下列問題:
如圖,連接BD,∵
AE
EB
=
AH
HD
,∴EH∥BD,∵
BF
FC
=
DG
GC
,∴FG∥BD,∴FG∥EH.
(1)連接AC,則EF與GH是否一定平行,答:
 
;
(2)當(dāng)k值為
 
時(shí),四邊形EFGH為平行四邊形;
(3)在(2)的情形下,對(duì)角線AC與BD只須滿足
 
條件時(shí),EFGH為矩形;
(4)在(2)的情形下,對(duì)角線AC與BD只須滿足
 
條件時(shí),EFGH為菱形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(2012•淮安)閱讀理解
如圖1,△ABC中,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重復(fù)部分;將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,剪掉重復(fù)部分;…;將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊,點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合,無論折疊多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角.
小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形.情形一:如圖2,沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊,點(diǎn)B與點(diǎn)C重合;情形二:如圖3,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重復(fù)部分;將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合.
探究發(fā)現(xiàn)
(1)△ABC中,∠B=2∠C,經(jīng)過兩次折疊,∠BAC是不是△ABC的好角?
(填“是”或“不是”).
(2)小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角,請(qǐng)?zhí)骄俊螧與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想:若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角,則∠B與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之間的等量關(guān)系為
∠B=n∠C
∠B=n∠C

應(yīng)用提升
(3)小麗找到一個(gè)三角形,三個(gè)角分別為15°、60°、105°,發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角形的好角.
請(qǐng)你完成,如果一個(gè)三角形的最小角是4°,試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù),使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•郴州)不等式x-2>1的解集是( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•郴州)已知:點(diǎn)P是?ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)P的直線EF交AB于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)F.求證:AE=CF.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案