Question

如圖，已知：AD是⊙O的直徑，AB、AC是弦，且AB=AC．
（1）求證：直徑AD平分∠BAC；
（2）若BC經(jīng)過半徑OA的中點(diǎn)E，F(xiàn)是

CD

的中點(diǎn)，G是

FB

的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，求GF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)全等或等腰三角形的性質(zhì)即可得出AO⊥BC，AO平分BC．
（2）求出∠AOC的度數(shù)，求出弧AC度數(shù)，分別求出弧CD、弧CF、弧DF、弧BF、弧GF的度數(shù)，求出∠GOF=90°，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：連接OB，OC，
∵在△ABO和△ACO中，

AB=AC OA=OA OB=OC

∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO，
∴直徑AD平分∠BAC；

（2）解：連接OG、OF，OC，
∵BC過AO中點(diǎn)，
∴AE=OE=

1

2

OA=

1

2

OC，
∵AO⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠OCE=30°，
∴∠AOC=60°，
即弧AC度數(shù)是60°，
∵AD為直徑，
∴弧CD的度數(shù)是180°-60°=120°，
∵F為弧CD中點(diǎn)，
∴弧CF的度數(shù)和弧DF的度數(shù)都等于60°，
∵AO⊥BC，AO平分BC，
∴弧BD的度數(shù)=弧CD的度數(shù)，是120°，
∴弧BDF的度數(shù)是120°+60°=180°，
∵G為弧BDF的中點(diǎn)，
∴弧GF度數(shù)是90°，
∴∠GOF=90°，
∵OG=OF=1，
∴由勾股定理得：GF=

12+12

=

2

．

點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．