Question

已知：如圖，AD是半圓O的直徑，AB、CD與半圓O切于點A、D，E為半圓O上一點，過點E的直線交AB于點B，交CD交點C，且CD=CE．
（1）求證：CB是半圓O的切線；
（2）如果AB=4，CD=9，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

證明：（1）連接OE、DE，如圖；
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED．
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED．
∴∠CDE+∠ODE=∠CED+∠OED．
∴∠CDO=∠CEO．
∵CD是半圓O的切線，AD是半圓O的直徑，
∴CD⊥AD．
∴∠CEO=∠CDO=90°．
∴CB是半圓O的切線．

（2）過點B作BF⊥CD于F，如圖；
∵BA是半圓O的切線，AD是半圓O的直徑，
∴BA⊥AD．
∵CD⊥AD，
∴四邊形ABFD是矩形．
∴BF=AD，F(xiàn)D=BA=4．
∴CF=CD-CF=9-4=5．
∵CB、BA和CD都是半圓O的切線，
∴CE=CD=9，BE=BA=4．
∴CB=CE+EB=13．
在Rt△CFB中，由勾股定理，得BF===12，
∴AD=12．
∵S_半圓=π6²=18π，S_梯形ABCD=（4+9）•12=78．
∴S_陰影=S_梯形ABCD-S_半圓=78-18π．
分析：（1）因為點E在圓上，所以只要連接OE并說明OE垂直于BC就可以，而CD也與半圓相切，所以只要求∠COE等于∠D就能說明問題了；
（2）過B作BF⊥CD于D，得到直角三角形，利用勾股定理求出半徑，再用梯形的面積減去半圓的面積就是陰影的面積．
點評：解答此題關(guān)鍵在于作輔助線，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形，問題也就不難解決了．