Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=3，動點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑畫⊙P交AC于點(diǎn)Q．
（1）比較AP，AQ的大小，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，求AP的長，并求此時(shí)弓形（陰影部分）的面積．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC中，根據(jù)AB、AC的長，易證得∠A=60°；若連接PQ，則△PAQ是等邊三角形，由此可得出AP、AQ的大小關(guān)系．
（2）當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，若切點(diǎn)為E，在Rt△PBE中，PB=2PE=2PA，由此可求出⊙P的半徑；那么陰影部分的面積可由扇形PAQ和等邊△PAQ的面積差求得．

解答：解：（1）AP=AQ，證明如下：（1分）
∵∠C=90°，AB=6，AC=3，
∴∠A=60°（2分）
連接PQ，
∴△PQA是等邊三角形，即AP=AQ；（3分）

（2）當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，如圖，設(shè)切點(diǎn)為E，連接PE，則PE⊥BC，（4分）
∴PE∥AC，
∴∠EPB=∠A=60°，
∴PB=2PE=2AP（5分）
即AP=6÷3=2，（6分）
S_弧=S_扇形PQA-S_三角形PQA=

1

6

π×22-

3

4

×22=

2

3

π-

3

．（8分）

點(diǎn)評：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)以及扇形的面積公式等．