Question

【題目】如圖所示，平面直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數(shù)的圖象與x軸交于、B兩點，與y軸交于點C；

（1）求c與b的函數(shù)關系式；

（2）點D為拋物線頂點，作拋物線對稱軸DE交x軸于點E，連接BC交DE于F，若AE＝DF，求此二次函數(shù)解析式；

（3）在（2）的條件下，點P為第四象限拋物線上一點，過P作DE的垂線交拋物線于點M，交DE于H，點Q為第三象限拋物線上一點，作于N，連接MN，且，當時，連接PC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）把A（-1，0）代入y=x2-bx+c，即可得到結論；

（2）由（1）得，y=x2-bx-1-b，求得EO=，AE=+1=BE，于是得到OB=EO+BE=++1=b+1，當x=0時，得到y=-b-1，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到D（，-b-2），將D（，-b-2）代入y=x2-bx-1-b解方程即可得到結論；

（3）連接QM，DM，根據(jù)平行線的判定得到QN∥MH，根據(jù)平行線的性質得到∠NMH=∠QNM，根據(jù)已知條件得到∠QMN=∠MQN，設QN=MN=t，求得Q（1-t，t2-4），得到DN=t2-4-（-4）=t2，同理，設MH=s，求得NH=t2-s2，根據(jù)勾股定理得到NH=1，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠NMH=∠MDH推出∠NMD=90°；根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程得到t1=，t2=-（舍去），求得MN=，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論．

（1）把A（﹣1，0）代入，

∴，

∴；

（2）由（1）得，，

∵點D為拋物線頂點，

∴，

∴，

當時，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

將代入得，，

解得：，（舍去），

∴二次函數(shù)解析式為：；

（3）連接QM，DM，

∵，，

∴，∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，設，則，

∴，同理，

設，則，∴，

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

∵，

∴，，

∵，

∴，即，

解得：，（舍去），

∴，

∵，

∴，

∴，

當時，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，，

過P作于T，

∴，

∴，

∴．