Question

已知a、b、c是Rt△ABC三邊的長(zhǎng)，a＜b＜c，
（1）求證：關(guān)于x的方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若c=3a，x₁，x₂是這個(gè)方程的兩根，求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析：（1）要證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即證明△＞0即可，（2）根據(jù)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁和x₂，寫出兩根之和和兩根之積，即可求出x₁²+x₂²的值．

解答：解：（1）把方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0化成一般形式為（c-a）x²-2

2

bx+a+c=0，
故方程根的判別式△=8b²-4a²+4c²，
∵a、b、c是Rt△ABC三邊的長(zhǎng)，
∵a＜b＜c，
∴△=8b²-4a²+4c²＞0，
∴方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵x₁+x₂=

2 2 b

c-a

，x₁•x₂=

a+c

c-a

，
∵c=3a，
∴x₁+x₂=

2 b

a

，x₁•x₂=2，
∴x₁²+x₂²=

2b2

a2

-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握若x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時(shí)，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則一元二次方程根的判別式△＞0恒成立．