Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（－1，0）．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)：B（ ， ）、C（ ， ）；并求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點(diǎn)E放在線段AB上（點(diǎn)E是不與A、B兩點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)），并使ED所在直線經(jīng)過點(diǎn)C． 此時(shí)，EF所在直線與（1）中的拋物線交于第一象限的點(diǎn)M．連接MB和MC，當(dāng)△OCE∽△OBC時(shí),判斷四邊形AEMC的形狀，并給出證明；

（3）有一動(dòng)點(diǎn)P在（1）中的拋物線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)P，以點(diǎn)P為圓心作圓能和直線AC和x軸同時(shí)相切 ，若存在，求出圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），C（0， ）過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為；

（2）四邊形AEMC是菱形，證明見解析；

（3）存在點(diǎn)P滿足條件，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2， ）或（6，-7）

【解析】（1）解：（1）B（3，0），C（0， ）．

∵A（—1，0）B（3，0），∴可設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線為．

又∵C（0， ）在拋物線上，∴，解得．

∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為．

（2）四邊形AEMC是菱形．

當(dāng)△OCE∽△OBC時(shí)，則錯(cuò)誤！未找到引用源。．

∵OC=錯(cuò)誤！未找到引用源。，∴

錯(cuò)誤！未找到引用源。∴OE=1．

∴E（1，0）在拋物線對(duì)稱軸上，∴△CAE為等邊三角形，∴∠AEC=∠A=60°．

又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=∠AEC=60°．

∴點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．

C（0，錯(cuò)誤！未找到引用源。），∴M（2，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

∴MC=AE=2， MC∥AE

∴四邊形AEMC是平行四邊形。

∵AC=CM=2

∴四邊形AEMC是菱形．

（3）由⊙P與直線AC和x軸同時(shí)相切易知點(diǎn)P在兩線夾角的平分線上，

①當(dāng)在x軸上方時(shí)，∠PAO=30°，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x, ）,過P作PQ⊥x軸，交點(diǎn)為Q，則AQ=PQ,得x+1= ()

解得，x1=2 ,x2=-1(舍去)，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（2， ）

②當(dāng)在x軸下方時(shí)，∠PAO=60°，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x, ）,過P作PQ⊥x軸，交點(diǎn)為Q，則AQ=PQ,得（x+1）= -()

解得，x1=6 ,x2=-1(舍去)，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，-7）

綜上所述，存在點(diǎn)P滿足條件，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2， ）或（6，-7）