Question

某區(qū)政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)．李剛在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500．
（1）設(shè)李剛每月獲得利潤(rùn)為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為每臺(tái)多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？
（2）如果李剛想要每月獲得2000元的利潤(rùn)，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷售單價(jià)不得高于32元，如果李剛想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝進(jìn)價(jià)×銷售量）

Answer 1

（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為35元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)；
（2）李明想要每月獲得2000元的利潤(rùn)，銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元；
（3）想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元，每月的成本最少為3600元．

解析試題分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價(jià)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)，利潤(rùn)=（定價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷售量，從而列出關(guān)系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價(jià)；
（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圖象，求出每月的成本．
試題解析：（1）由題意，得：w=（x﹣20）•y=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x²+700x﹣10000，
x==35，
答：當(dāng)銷售單價(jià)定為35元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)；
（2）由題意，得：﹣10x²+700x﹣10000=2000，
解這個(gè)方程得：x₁=30，x₂=40，
答：李明想要每月獲得2000元的利潤(rùn)，銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元；
（3）∵a=﹣10＜0，
∴拋物線開口向下，
∴當(dāng)30≤x≤40時(shí)，w≥2000，
∵x≤32，
∴當(dāng)30≤x≤32時(shí)，w≥2000，
設(shè)成本為P（元），由題意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000，
∵a=﹣200＜0，
∴P隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=32時(shí)，P_最小=3600，
答：想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元，每月的成本最少為3600元．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．