Question

（2009•寧波）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度得到四邊形OA′B′C′，此時(shí)OA′、B′C′分別與直線BC相交于P、Q．
（1）四邊形OA′B′C′的形狀是______，當(dāng)α=90°時(shí)，的值是______；
（2）①如圖2，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在y軸正半軸上時(shí)，求的值；
②如圖3，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在直線BC上時(shí)，求△OPB′的面積；
（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)0°＜α≤180°時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使BP=BQ？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形進(jìn)行判斷當(dāng)α=90°時(shí)，就是長與寬的比；
（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根據(jù)勾股定理求得PB′的長，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．
（3）構(gòu)造全等三角形和直角三角形，運(yùn)用勾股定理求得PC的長，進(jìn)一步求得坐標(biāo)．
解答：解：（1）圖1，四邊形OA′B′C′的形狀是矩形；根據(jù)題意即是矩形的長與寬的比，即．

（2）①圖2∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴，即，
∴CP=，BP=BC-CP=．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴=，即，
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴==；
②圖3，在△OCP和△B′A′P中，
，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．設(shè)B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=．
∴S_△OPB′=．

（3）存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使BP=BQ．
點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁（-9-，6），P₂（-，6）．
【對于第（3）題，我們提供如下詳細(xì)解答，對學(xué)生無此要求】
過點(diǎn)Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=PQ•OC，S_△POQ=OP•QH，∴PQ=OP．
設(shè)BP=x，∵BP=BQ，∴BQ=2x，
如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得，（不符實(shí)際，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+，
∴P₁（-9-，6）．
如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，解得x=．
∴PC=BC-BP=，
∴P₂（-，6），
綜上可知，存在點(diǎn)P₁（-9-，6），P₂（-，6），使BP=BQ．
點(diǎn)評：特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對應(yīng)線段相等，能夠用一個(gè)未知數(shù)表示同一個(gè)直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．