Question

如圖，已知A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，以斜邊OA₂為直角邊作直角三角形，使得∠A₂OA₃=30°，依次以前一個直角三角形的斜邊為直角邊一直作含30°角的直角三角形，則A₂A₃=

4

3

；Rt△A₂₀₁₀OA₂₀₁₁的最小邊長為

（

2

3

）²⁰⁰⁹

．

Answer 1

分析：在直角三角形OA₁A₂中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OA₂=2A₁A₂，由A₁A₂的長求出OA₂的長，在直角三角形OA₂A₃中，利用銳角三角函數(shù)定義得到tan∠A₂OA₃等于A₂A₃與OA₂的比值，求出A₂A₃的長，再利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出OA₃的長，同理求出A₃A₄的長，以此類推得到直角三角形△A₂₀₁₀OA₂₀₁₁的最小邊長A₂₀₁₀A₂₀₁₁即可．

解答：解：在Rt△OA₁A₂中，A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，
∴OA₂=2A₁A₂=2，
在Rt△OA₂A₃中，OA₂=2，∠OA₂A₃=90°，∠A₂OA₃=30°，
∴A₂A₃=OA₂tan∠A₂OA₃=2×

3

3

=

2

3

，OA₃=2A₂A₃=

4

3

，
在Rt△OA₃A₄中，OA₃=

4

3

，∠OA₃A₄=90°，∠A₃OA₄=30°，
∴A₃A₄=OA₃tan∠A₃OA₄=

4

3

×

3

3

=

4

3

=（

2

3

）²，
以此類推，Rt△A₂₀₁₀OA₂₀₁₁的最小邊長A₂₀₁₀A₂₀₁₁=（

2

3

）²⁰⁰⁹．
故答案為：

4

3

，（

2

3

）²⁰⁰⁹．

點評：此題考查了勾股定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，屬于規(guī)律型試題，利用了轉(zhuǎn)化的思想，鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)的能力．