Question

如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，且OA=5，OB=4，OC=3，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD，回答下列問題：
（1）判斷△COD的形狀，并說明理由；
（2）判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）根據(jù)（1）、（2），你能計算出∠BOC的度數(shù)嗎？

Answer 1

解：（1）△COD為等邊三角形．理由如下：
∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60，
∴△COD為等邊三角形．

（2）∴△OAD為直角三角形，且∠ADO=90°．理由如下：
∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，
∴AD=OB=4，
由（1）得OD=OC=3，
在△OAD中，OA=5，∴OA²=AD²+OD²，
∴△OAD為直角三角形，且∠ADO=90°；

（3）根據(jù)（1）、（2）能計算出∠BOC的度數(shù)．
由（1）得到△COD為等邊三角形，∴∠ODC=60°；
由（2）得到△OAD為直角三角形，且∠ADO=90°，
∴∠BOC=60°+90°=150°．
分析：（1）△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CO=CD，∠OCD=60，即可判斷△COD的形狀；
（2）△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=OB=4，由（1）得OD=OC=3，而OA=5，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到△OAD為直角三角形；
（3）根據(jù)（1）、（2）能計算出∠BOC的度數(shù)．因為∠ADO=90°，∠ODC=60°．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．