Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，試探究BE²、CF²、EF²間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：首先把△ACF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．連接EG，可得△ACF≌△ABG．進(jìn)而得到AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°，然后再證明△AEG≌△AFE可得EF=EG，再利用勾股定理可得結(jié)論．

解答：解：BE²+CF²=EF²，
理由是：把△ACF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．連接EG．

則△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AEG和△AFE中，

AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE

，
∴△AEG≌△AFE（SAS）．
∴EF=EG，
又∠GBE=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，正確作出輔助線后證出△AEG≌△AFE是解此題的關(guān)鍵．