Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC∶BC=4∶3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動

1.求AC、BC的長；

2.設點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm²），當△PBQ存在時，求y與x的函數關系式；

3.當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；

 

Answer 1

【答案】

 

1.AC=8cm，BC=6cm

2.y=﹣x²+8x（0＜x≤3）

3.見解析。

【解析】解：（1）設AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，

即：（4x）²+（3x）²=10²，解得：x=2，

∴AC=8cm，BC=6cm；……………………………………………..…….2分

（2）①當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，

∵△QHB∽△ACB，

∴，∴QH=x，………..3分

y=BP•QH=（10﹣x）•x

=﹣x²+8x（0＜x≤3），………………………………………………….4分

②當點Q在邊CA上運動時，過點Q作QH′⊥AB于H′，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，

∵△AQH′∽△ABC，

∴，即：，解得：QH′=（14﹣2x），…..5分

∴y=PB•QH′=（10﹣x）•（14﹣2x）

=x²﹣x+42（3＜x＜7）；……….6分

（3）∵AP=x，∴AQ=14﹣2x，

∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，

∴，即：，………………7分

解得：x=，PQ=，

∴PB=10﹣x=，……………….8分

∴，

∴當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC不相似；