Question

如圖，AB為量角器（半圓O）的直徑，等腰直角△BCD的斜邊BD交量角器邊緣于點G，直角邊CD切量角器于讀數(shù)為60°的點E處（即弧AE的度數(shù)為60°），第三邊交量角器邊緣于點F處．
（1）求量角器在點G處的讀數(shù)α（90°＜α＜180°）；
（2）若AB=12cm，求陰影部分面積．

Answer 1

解：連接OE，OF，
（1）∵CD切半圓O于點E∴OE⊥CD，
∵BD為等腰直角△BCD的斜邊，∴BC⊥CD，∠D=∠CBD=45°，
∴OE∥BC∴∠ABC=∠AOE=60°，∴∠ABG=∠ABC-∠CBD=60°-45°=15°
∴弧AG的度數(shù)=2∠ABG=30°，∴量角器在點G處的讀數(shù)α=弧AG的度數(shù)=30°

（2）∵OF=OB=AB=6cm，∠ABC=60°，∴△OBF為正三角形，∠BOF=60°，
∴S_扇形==6π（cm²），S_△OBF=×6²=9（cm²），
∴S_陰影=S_扇形-S_△OBF=（6π-9）cm²
∴陰影部分的面積為（6π-9）cm²．
分析：（1）連接OE，OF，則OE⊥CD，由BD為等腰直角△BCD的斜邊，則BC⊥CD，從而求得∠D=∠CBD，進而得出∠ABG的度數(shù)，則可求得α為150°；
（2）根據(jù)已知可得出△OBF為正三角形，則∠BOF=60°，再求得S_扇形和S_△OBF，從而得出S_陰影即可．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及扇形面積的計算，是一道綜合題，難度不大．