【題目】如圖,已知等邊的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)PAB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合),直線是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線,把沿直線折疊,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)時(shí),若點(diǎn)恰好在AC邊上,則的長(zhǎng)度為    ;

(2)如圖2,當(dāng)時(shí),若直線,則的長(zhǎng)度為    ;

(3)如圖3,點(diǎn)PAB邊上運(yùn)動(dòng)過程中,若直線始終垂直于AC,的面積是否變化?若變化,說(shuō)明理由;若不變化,求出面積;

(4)當(dāng)時(shí),在直線變化過程中,求面積的最大值.

【答案】1)長(zhǎng)度為4;(2)長(zhǎng)度為5;(3的面積不變化為16,理由見解析;(4的面積的最大值為24+4,理由見解析.

【解析】

1)連接,由于折疊則為等邊三角形,即可求出的長(zhǎng)度;(2)記BC交于點(diǎn)D,連接,△BPD和△為邊長(zhǎng)等于5的等邊三角形,所以為兩邊長(zhǎng)為5的等邊三角形的高之和,求出即可;(3)因?yàn)?/span>AC ,則AC的距離始終等于BAC的距離(平行線之間的距離處處相等),的面積和△ABC的面積相等,算出即可;(4)由題意知=PB=6,所以始終在以P點(diǎn)為圓心,6為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),要使得面積最大,只要AC邊上的高最大,如圖,當(dāng)經(jīng)過圓心P時(shí),最大,算出其面積即可.

1)連接,

∵等邊的邊長(zhǎng)為8,PB=4,

AP==4,∠PAC=60°,

為等邊三角形,

=4;

2)記BC交于點(diǎn)D,連接,

BC=BP=5,

△BPD為邊長(zhǎng)等于5的等邊三角形,

所以PD==5,=∠BPD=60°

∴△為邊長(zhǎng)等于5的等邊三角形,

由折疊知,

為兩邊長(zhǎng)為5的等邊三角形的高之和,

=;

3的面積不變化,理由如下:

AC, ,

AC的距離始終等于BAC的距離(平行線之間的距離處處相等),

∴S△ACB’=S△ABC=×82=;

4)由題意知=PB=6,所以始終在以P點(diǎn)為圓心,6為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),要使得面積最大,只要AC邊上的高最大,如圖,當(dāng)經(jīng)過圓心P時(shí)最大,

∠BAC=60°,

AE=AP=1PE=AE=,=+6,

此時(shí)S△ACB’的最大值為×AC×=×8×(+6=+24

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