Question

（2007•云南）已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若過點(diǎn)C的直線y=kx+b與拋物線相交于點(diǎn)E（4，m），請求出△CBE的面積S的值；
（3）在拋物線上求一點(diǎn)P，使得△ABP為等腰三角形，并寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
附加：（4）除（3）中所求的P點(diǎn)外，在拋物線上是否還存在其它的點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點(diǎn)P（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點(diǎn)P，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可得abc的值，進(jìn)而可得拋物線的方程；
（2）根據(jù)題意，易得直線的方程，進(jìn)而可得D的坐標(biāo)，最后代入可得△CBE的面積；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，易得答案；
（4）假設(shè)存在，以A、B為圓心半徑長為4畫圓，分析可得在拋物線上還存在其它的點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形．
解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（5，0），
∴y=a（x-1）（x-5）．
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，5），
∴5a=5，a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）（x-5）=x²-6x+5．（3分）

（2）∵E點(diǎn)在拋物線上，
∴m=4²-4×6+5=-3．
∵直線y=kx+b過點(diǎn)C（0，5）、E（4，-3），
∴，
解得k=-2，b=5．（7分）
設(shè)直線y=-2x+5與x軸的交點(diǎn)為D，
當(dāng)y=0時，-2x+5=0，
解得x=．
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）．（8分）
∴S=S_△BDC+S_△BDE
==10．（9分）

（3）∵拋物線的頂點(diǎn)P（3，-4）既在拋物線的對稱軸上又在拋物線上，
∴點(diǎn)P（3，-4）為所求滿足條件的點(diǎn)．（13分）

（4）除P點(diǎn)外，在拋物線上還存在其它的點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形．（1分）
理由如下：
∵，（2分）
∴分別以A、B為圓心半徑長為4畫圓，分別與拋物線交于點(diǎn)B、P₁、P₂、P₃、A、P₄、P₅、P₆，除去B、A兩個點(diǎn)外，其余6個點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．