Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，交BD于點(diǎn)Q，連接PE、PF，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t≤5）．
（1）填空：PD=

10-t

cm．（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PE與PF的和最��？
（3）在上述運(yùn)動(dòng)的過程中，以P、F、C、D、E為頂點(diǎn)的多邊形的面積是否發(fā)生變化，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用BC=BD=10cm，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，即可表示出PD的長；
（2）當(dāng)E、P、F三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，PE與PF的和最小．此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，進(jìn)而得出即可；
（3）①當(dāng)0＜t＜5時(shí)，以P、F、C、D、E為頂點(diǎn)的多邊形為五邊形，②當(dāng)t=5時(shí)，由（2）知：E、P、F三點(diǎn)在同一條直線上，分別得出即可．

解答：解：（1）∵BC=BD=10cm，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，
∴PD=10-t；
故答案為：10-t；

（2）當(dāng)E、P、F三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，PE與PF的和最�。�
此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，
如圖1，
∵BC=BD
∴∠C=∠BDC
∵EF∥DC
∴∠BFQ=∠C，∠3=∠BDC
∴∠BFQ=∠3
∵AD∥BC
∴∠1=∠BFQ
又∵∠2=∠3
∴∠1=∠2
∴DE=DQ，
由題意得：BP=DE=t，PD=10-t；
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，PD=DQ=DE
則10-t=t，
解得：t=5；

（3）以P、F、C、D、E為頂點(diǎn)的多邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化．
理由如下：分兩種情況討論：
①當(dāng)0＜t＜5時(shí)，以P、F、C、D、E為頂點(diǎn)的多邊形為五邊形，如圖1，
∵EF是由線段DC平移得到的，
∴FC=DE=t，BF=10-t
∵PD=10-t
∴PD=BF
∵AD∥BC，
∴∠EDP=∠PBF
又∵BP=DE=t，
在△PDE和△FBP中，

BP=DE ∠FBP=∠EDP PF=DP

，
∴△PDE≌△FBP（SAS），
∴S_△PDE=S_△FBP
∵△BCD的面積是定值．
∴五邊形PFCDE的面積不會(huì)發(fā)生變化．
②當(dāng)t=5時(shí)，由（2）知：E、P、F三點(diǎn)在同一條直線上，
此時(shí)，以P、F、C、D、E為頂點(diǎn)的多邊形即為四邊形EFCD，如圖2，
∵EF是由線段DC平移得到的，
∴FC=DE=5，BF=10-5=5
∵PD=10-5=5，
∴PD=BF
∵AD∥BC，
∴∠EDP=∠PBF
又∵BP=DE=5，
在△PDE和△FBP中，

BP=DE ∠FBP=∠EDP PF=DP

，
∴△PDE≌△FBP（SAS），
∴S_△PDE=S_△FBP
∵△BCD的面積是定值．
∴四邊形EFCD的面積不會(huì)發(fā)生變化．

點(diǎn)評：本題利用了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式等知識(shí)，熟練利用全等三角形的性質(zhì)得出S_△PDE=S_△FBP是解題關(guān)鍵．