Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E．
（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；
（2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G．如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知三點，可用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；
（2）關鍵在于正確作出旋轉后的圖形，結合幾何知識，利用數(shù)形結合的思想求解；
（3）應當明確△PCG構成等腰三角形有三種情況，逐一討論求解，要求思維的完備性．
解答：解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
∴AD=BC．AD=2．
∴E（0，1）．（1分）
設過點E、D、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
將點E的坐標代入，得c=1．將c=1和點D、C的坐標分別代入，
得（2分）
解這個方程組，得
故拋物線的解析式為y=-x²+x+1；（3分）

（2）EF=2GO成立．（4分）
∵點M在該拋物線上，且它的橫坐標為，
∴點M的縱坐標為．（5分）
設DM的解析式為y=kx+b₁（k≠0），將點D、M的坐標分別代入，
得，
解得
∴DM的解析式為y=-x+3．（6分）
∴F（0，3），EF=2．（7分）
過點D作DK⊥OC于點K，則DA=DK．
∵∠ADK=∠FDG=90°，
∴∠FDA=∠GDK．
又∵∠FAD=∠GKD=90°，
∴△DAF≌△DKG．
∴KG=AF=1．
∵OC=3，
∴GO=1．（8分）
∴EF=2GO；

（3）∵點P在AB上，G（1，0），C（3，0），
則設P（t，2）．
∴PG²=（t-1）²+2²，PC²=（3-t）²+2²，GC=2．
①PG=PC，則（t-1）²+2²=（3-t）²+2²，
解得t=2．
∴P（2，2），此時點Q與點P重合，
∴Q（2，2）．（9分）
②若PG=GC，則（t-1）²+2²=2²，
解得t=1，
∴P（1，2），
此時GP⊥x軸．GP與該拋物線在第一象限內的交點Q的橫坐標為1，
∴點Q的縱坐標為，
∴Q（1，）．（10分）
③若PC=GC，則（3-t）²+2²=2²，解得t=3，
∴P（3，2），此時PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．
過點Q作QH⊥x軸于點H，則QH=GH，設QH=h，
∴Q（h+1，h）．
∴（h+1）²+（h+1）+1=h．
解得h₁=，h₂=-2（舍去）．
∴Q（，）．（12分）
綜上所述，存在三個滿足條件的點Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉變換、三角形全等、探究等腰三角形的構成情況等重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．