Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交兩坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，OA＞OB，且OA、OB的長(zhǎng)分別是一元二次方程x²-7x+12=0的兩根．

（1）求cos∠ABO的值；
（2）以線段AB的長(zhǎng)為邊作正方形ABCD（如圖所示），對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E，∠CBD的平分線BF交AC于F，求CF的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)M是y軸上任一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程求出OA、OB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)余弦的定義解答即可；
（2）過(guò)F作FH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得到EF=HF=CH，設(shè)CF=x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程求出x即可；
（3）分四邊形ANMB為菱形，四邊形AMNB為菱形，四邊形AMBN為菱形，四邊形ABNM為菱形四種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）解一元二次方程x²-7x+12=0得，
x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$；
（2）如圖2，過(guò)F作FH⊥BC于H，
∵BF是∠CBD的平分線，
∴EF=HF，
又∵四邊形ABCD為正方形，
∴EF=HF=CH，又∵AB=5，
∴CE=5sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)CF=x，則EF=HF=CH=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-x，
由勾股定理得，CF²=FH²+HC²，即x²=2（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-x）²，
解得，x₁=5$\sqrt{2}$-5，x₂=5$\sqrt{2}$+5（舍去），
答：CF的長(zhǎng)為5$\sqrt{2}$-5；
（3）如圖3，四邊形ANMB為菱形，
點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3，0），
如圖4，四邊形AMNB為菱形，
則BN=AB=5，
點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，-5），
如圖5，四邊形AMBN為菱形，
設(shè)AM=x，則BM=x，OM=4-x，
由勾股定理得，BM²=OM²+OB²，即x²=（4-x）²+3²，
解得，x=$\frac{25}{8}$，
點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，$\frac{25}{8}$），
如圖6，四邊形ABNM為菱形，
BN=AB=5，
點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，5），
以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，5）或（3，-5）或（-3，0）或（3，$\frac{25}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，正確運(yùn)用定理和性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．