如圖，頂點(diǎn)為A（1，4）的拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，2），與x軸交于C，D兩點(diǎn)，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P沿拋物線從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，分別過點(diǎn)P，Q向x軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N．拋物線對稱軸與x軸相交于點(diǎn)E．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACE與△PMQ相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
專題：
分析：（1）設(shè)此拋物線的解析式為：y=a（x-h）2+k，由已知條件可知，h和k的值，再把B的坐標(biāo)代入求出a的值即可；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACE與△PMQ相似，不妨設(shè)點(diǎn)P（1-t，4-2t2），由拋物線的對稱性可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+t，4-2t2），再分兩種情況△ACE∽△PMQ或△ACE∽△QMP討論求出符合題意的t值即可．
解答：解：（1）設(shè)此拋物線的解析式為：y=a（x-h）2+k，
∵頂點(diǎn)為A（1，4）
∴此拋物線的解析式為：y=a（x-1）2+4，
將點(diǎn)B（0，2）代入可求得：a=-2，
∴此拋物線的解析式為：y=-2（x-1）2+4=-2x2+4x+2．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACE與△PMQ相似，不妨設(shè)點(diǎn)P（1-t，4-2t2），
根據(jù)對稱性可得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+t，4-2t2），
令y=4-2（x-1）2=0，
解得到：x=1±
2
，
從而有：C（1-
2
），D（1+
2
，0）
所以：0＜t＜
2
，
由于△ACE與△PMQ相似，
則必有：
PM
PQ
=
AE
CE
或
PM
PQ
=
CE
AE
，
當(dāng)
PM
PQ
=
AE
CE
得到
4-2t2
2t
=
4
2
，
解得t=2-
2
或-2-
2
（舍去）
從而得到點(diǎn)P（
2
-1，8
2
-8）．
當(dāng)
PM
PQ
=
CE
AE
得到
4-2t2
2t
=
2
4
，
解得t=
130
-
2
8
或
-
130
-
2
8
（舍去），
從而得到點(diǎn)P（
8+
2
-
130
8
，
-17-4
2
+
65
+4
130
8
），
故存在這樣的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（
2
-1，8
2
-8）或（
8+
2
-
130
8
，
-17-4
2
+
65
+4
130
8
）．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式、相似三角形的判定和性質(zhì)以及解一元二次方程的問題．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于x的方程2x-m=4的解比方程x+3m=10的解小1．求兩個(gè)方程的解及m的值．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線C1：y=ax2+bx+4的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C三點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)E（0，-2）的直線l：y=kx-2（k≠0）與x軸、拋物線的對稱軸x=-1交于點(diǎn)F．
（1）填空：OC=
 
；OF=
 
；
（2）連結(jié)AE．若△OAE∽△OEF，請求出拋物線C1的解析式；
（3）在（2）的條件下，把拋物線C1向右平移1個(gè)單位后，向下平移
9
2
個(gè)單位得到新的拋物線C2．再將直線l繞著點(diǎn)E進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線l與拋物線C2相交于不同的兩個(gè)交點(diǎn)M、N時(shí)，過點(diǎn)P（0，2）、點(diǎn)M與點(diǎn)N分別作直線PM、PN．猜想：直線PM、PN、CE之間的位置關(guān)系（除相交于點(diǎn)P外）．并請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測驗(yàn)得分情況（單位：分）如圖所示
（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；
（2）根據(jù)圖示（如圖）和上面算的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價(jià)．
（3）要從兩人中選一人參加集訓(xùn)隊(duì)，你認(rèn)為選哪位較合適？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2+2ax+4與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，tan∠CBO=2，動(dòng)直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與直線AB重合時(shí)終止運(yùn)動(dòng)，直線l與BC交于點(diǎn)D，P是線段AD的中點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）①直接寫出點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長；
    ②若點(diǎn)Q在直線AC上方的拋物線上，且四邊形PDCQ是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D與B、C不重合時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥AB于點(diǎn)F，連結(jié)EF，求EF的最小值．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑為1.5，ED=2，求AB的長；
（3）在（2）的條件下，求△ADO的面積．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y=
1
2
x2-mx+2m-
7
2
的頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求證：不論m為何實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）若拋物線的對稱軸為直線x=-3，求m的值和C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖，直線y=x-1與（2）中的拋物線交于A、B兩點(diǎn)，并與它的對稱軸交于點(diǎn)D．直線x=k交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．求當(dāng)k為何值時(shí)，以C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

列方程組解應(yīng)用題：
隨著人民生活水平的不斷提高，外出采摘成了近郊旅游新時(shí)尚．端午節(jié)期間，小王一家去某農(nóng)場采摘櫻桃，已知A品種櫻桃采摘價(jià)格為80元/千克，B品種櫻桃采摘價(jià)格為60元/千克．若小王一家采摘A，B兩種櫻桃共8千克，共消費(fèi)580元，那么他們采摘A，B兩種櫻桃各多少千克？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計(jì)算a2÷a-4•a-8
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案