Question

如圖，圓⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點B的坐標為（2，0），∠CAB=90°，AC=AB，頂點A在⊙O上運動．
（1）當點A運動到x軸的負半軸上時，試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）當直線AB與⊙O相切時，求A點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,切線的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)題意過點O作OM⊥BC于點M，求出OM的長，與半徑比較得出位置關系．
（2）相切時有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點坐標．

解答：解：（1）直線BC與⊙O相切；
如圖1，過點O作OM⊥BC于點M，
∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=

2

，
∵⊙O的半徑為1，
∴直線BC與⊙O相離；

（2）①當點A位于第一象限時（如右圖2）：
連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，
∵直線AB與⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴點O、A、C在同一條直線上
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE=

1

2

OB=1．
點A的坐標為（1，1）；

②當點A位于第四象限時（如右圖3）：
過點作AE⊥BC于點E，
∵AB是切線，
∴OA⊥AB，
∵∠OAB=90°，
∴點O與點C重合，
∴點A的坐標為（1，-1）．

點評：此題考查了切線的性質與判定、直線與圓的位置關系、等腰直角三角形的性質以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用．