Question

已知：半徑為1的⊙O₁與x軸交于A、B兩點(diǎn)，圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為F．
（1）求b、c的值及二次函數(shù)頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）寫出將二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象向下平移1個單位再向左平移2個單位的圖象的函數(shù)表達(dá)式；
（3）經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與⊙O相切，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)⊙O₁的半徑和圓心的坐標(biāo)，可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將它們代入拋物線的解析式中，可求出b、c的值．進(jìn)而可根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（2）將原拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，然后再按題目給出的步驟，一步一步的進(jìn)行平移．
（3）過原點(diǎn)的直線是正比例函數(shù)，只需求得直線與圓的切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可確定直線l的解析式．（根據(jù)圓的對稱性可知，符合條件的直線l應(yīng)該有兩條）
解答：解：（1）由已知得：A（1，0），B（3，0）
由題意：
解得：
∴y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1
∴頂點(diǎn)F（2，1）

（2）y=-x²

（3）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l：y=kx（k≠0）與⊙O₁相切于點(diǎn)C
則O₁C⊥OC，OO₁=2，O₁C=1
∴OC=，∠O₁OC=30°
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x_c，y_c）
則
∴，得
∴y=x
由圓的對稱性，另一條直線l的解析式是y=-x．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移等知識．綜合性強(qiáng)，難度較大．