Question

已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC邊的中點，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，
求證：∠AMB=∠DMC．

Answer 1

分析：先延長AD至F，使得CF⊥AC，得出∠ABM=∠DAC，再根據(jù)AB=AC，CF⊥AC，得出△ABM≌△CAF，從而證出∠BMA=∠F，AM=CF，再根據(jù)所給的條件得出△FCD≌△MCD，即可得出∠AMB=∠F=∠CMD．

解答：證明：如圖，延長AD至F，使得CF⊥AC．
∵AB⊥AC，AD⊥BM，
∴∠ABM=∠DAC，
在△ABM與△CAF中，

∠ABM=∠DAC AB=CA ∠BAM=∠ACF

，
∴△ABM≌△CAF（ASA），
∴∠BMA=∠F，AM=CF，
在△FCD與△MCD中，

CM=CF ∠MCD=∠FCD CD=CD

，
∴△FCD≌△MCD（SAS），
∴∠F=∠CMD，
∴∠AMB=∠DMC．

點評：此題考查了解等腰直角三角形；解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)解等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判斷與性質(zhì)進行解答即可．