【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,分別以AB、AD為邊向外作等邊ABE、ADF,延長CBAE于點G,點G在點A、E之間,連接CE、CF,EF,則以下四個結論一定正確的是:①△CDF≌△EBC;②∠CDF=EAF;③△ECF是等邊CGAE( 。

A. 只有①② B. 只有①②③ C. 只有③④ D. ①②③④

【答案】B

【解析】根據(jù)題意,結合圖形,對選項一一求證,判定正確選項

解:在ABCD中,∠ADC=∠ABC,AD=BC,CD=AB,
∵△ABE、△ADF都是等邊三角形,
∴AD=DF,AB=EB,∠ADF=∠ABE=60°,
∴DF=BC,CD=BC,
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC,
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC,
∴∠CDF=∠EBC,
在△CDF和△EBC中,

DF=BC,∠CDF=∠EBC,CD=EB,
∴△CDF≌△EBC(SAS),故①正確;
ABCD中,∠DAB=180°-∠ADC,
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC,
∴∠CDF=∠EAF,故②正確;
同理可證△CDF≌△EAF,
∴EF=CF,
∵△CDF≌△EBC,
∴CE=CF,
∴EC=CF=EF,
∴△ECF是等邊三角形,故③正確;
當CG⊥AE時,∵△ABE是等邊三角形,
∴∠ABG=30°,
∴∠ABC=180°-30°=150°,
∵∠ABC=150°無法求出,故④錯誤;
綜上所述,正確的結論有①②③.
故選B.

“點睛”本題考查了全等三角形的判定、等邊三角形的判定和性質、平行線的性質等知識,綜合性強,考查學生綜合運用數(shù)學知識的能力.

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