Question

如圖（1），在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=，∠AOB的平分線OC交AB于C，過O點作與OB垂直的直線OF．動點P從點B出發(fā)沿折線BC→CO方向以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，同時動點Q從點C出發(fā)沿折CO→OF方向以相同的速度運動，設(shè)點P的運動時間為t秒，當點P到達點O時P、Q同時停止運動．
（1）求OC、BC的長；
（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當點P在OC上、點Q在OF上運動時，如圖（2），PQ與OA交于點E，當t為何值時，△OPE為等腰三角形？求出所有滿足條件的t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先三角函數(shù)關(guān)系求出OA的長度，進而得出BC的長度即可；
（2）根據(jù)①當點P在BC上、點Q在OC上運動時，當t=4時，點P與點C重合，點Q與點O重合時，②當t=4時，點P與點C重合，點Q與點O重合，此時，不能構(gòu)成△CPQ，③當點P在OC上、點Q在OQ上運動時分別得出即可．
（3））△OPE為等腰三角形分三種情況：①當OP=OE時，②當EP=EO時，③當PE=PO時分別求出即可．
解答：解：（1）在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=4，
，則∠AOB=60°．
因為OC平分∠AOB，∴．
在Rt△AOC中，∠A=90°，∠AOC=30°，，OC=2AC=4，
所以BC=AB-AC=4．

（2）本題分三種情況：
①當點P在BC上、點Q在OC上運動時，（0＜t＜4）如圖（1）CP=4-t，CQ=t
過點P作PM⊥OC交OC的延長線于點M．
在Rt△CPM中，∠M=90°，∠MCP=60°
∴CM=，，
∵QC•PM，
∴=．
②當t=4時，點P與點C重合，點Q與點O重合，此時，不能構(gòu)成△CPQ；
③當點P在OC上、點Q在OQ上運動時即（4＜t≤8），
如圖（2）PC=t-4，OQ=t-4，
過點Q作QN⊥OC交OC于點N，
在Rt△OQN中，∠QNO=90°，∠QON=60°，，，
所以，
綜上所述S=．

（3）△OPE為等腰三角形分三種情況：
①當OP=OE時，OQ=t-4，OP=8-t
過點E作EH⊥OQ于點H，則QH=EH=OE，OH=OE，

∴OQ=HQ+OH=OE=t-4．∴OE==OP=8-t，解得：t=，
②當EP=EO時，如圖：△OPQ為30°的直角三角形，，．   
③當PE=PO時，PE∥OF，PE不與OF相交，故舍去．
綜上所述，當t=和時，△OPE為等腰三角．

點評：此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及勾股定理等知識的應(yīng)用，根據(jù)已知進行分類討論得出是此題的難點，應(yīng)重點掌握．