Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，過圓上的點D作直線CD，且∠CDA=∠B．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）作AT⊥CD于點T，若AB=5AT，求sinB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，要證明CD是⊙O的切線，只要證明DC⊥OD即可，即轉(zhuǎn)化為證明∠CD0=90°；
（2）利用已知條件證明△ATD∽△ADB，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可得到AD和AT的數(shù)量關(guān)系，進而求出sinB的值．
解答：（1）證明：連接OD，
∵OD=OA，
∠1=∠2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠CDA=∠B，
∴∠2+∠CDA=90°，
即DC⊥OD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）∵AT⊥CD于點T，
∵∠ATD=90°
由（1）得：∠ADB=90°，
∴∠ATD=∠ADB，
∵∠CDA=∠B，
∴△ATD∽△ADB，
∴，
∴AD²=AT•AB，
又∵AB=5AT，
∴5AT²=AD²，
∴AD=AT，
在Rt△ADB中，sinB===．
點評：本題考查了切線的判定和切線的性質(zhì)、圓周角定理的推論、銳角三角函數(shù)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，此類題目是中考中常見題．