Question

如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一點E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D，若AE=2cm，AD=4cm．
（1）求：⊙O的直徑BE的長；
（2）計算：△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）∵AD是切線，AEB是圓的割線，
∴AD²=AE•AB=AE（AE+BE），解得BE=6cm；

（2）∵∠B=90°，
∴CB也是圓的切線，
∵CD也是圓的切線，則有CD=BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB²+BC²=AC²即8²+BC²=（4+BC）²，解得BC=6cm，
∴S_△ABC=AB•BC=24cm²．
分析：（1）由切割線定理知，AD²=AE•AB=AE（AE+BE），由此可求得BE的長；
（2）由切線長定理知，CD=BC，由勾股定理知，AB²+BC²=AC²即8²+BC²=（4+BC）²，解得BC=6，則可由直角三角形的面積公式求得△ABC的面積．
點評：本題利用了切割線定理、切線長定理、勾股定理、切線的判定和性質、直角三角形的面積公式求解．