Question

關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3與x軸有兩個交點，A（x₁，0），B（x₂，0），頂點為C，設(shè)m是不小于-1的實數(shù)．
（1）求頂點C的坐標，并說明C點在什么樣的線上運動；
（2）若OA²+OB²=6，求m值；
（3）求代數(shù)式的最大值．

Answer 1

解：（1）y=（x+m-2）²+m-1，
∴頂點C的坐標為（-m+2，m-1），
設(shè)C（x，y），則x=-m+2①，y=m-1②，
①+②得，x+y=1，即y=-x+1，
∴C點的橫縱坐標滿足y=-x+1，
∴C點在直線y=-x+1上運動；

（2）∵二次函數(shù)y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3與x軸有兩個交點，A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²-3m+3，
∵OA²+OB²=6，
∴x₁²+x₂²=6，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=6，
∴m²-5m+2=0，解得m=，
又∵m是不小于-1的實數(shù)且m-1＜0，即-1≤m＜1，
∴m=；

（3）設(shè)t=，
當m=0，t=0，
當m≠0，
t=m•
=m•
=m•
=2m²-6m+2
=2（m-）²-，
∵-1≤m＜1，
∴當m=-1時，t的值最大，此時t=10，
所以代數(shù)式的最大值為10．
分析：（1）先把y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3配成頂點式得y=（x+m-2）²+m-1，即可得到頂點C的坐標；設(shè)C（x，y），則x=-m+2，y=m-1，消去m得到y(tǒng)=-x+1；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²-3m+3，變形x₁²+x₂²=6使之用x₁+x₂，x₁•x₂表示，然后得到關(guān)于m的方程m²-5m+2=0，解得m=；而m是不小于-1的實數(shù)且m-1＜0，即-1≤m＜1，即可得到m的值；
（3）設(shè)t=，當m=0，t=0；當m≠0，對t通分，并且用x₁+x₂，x₁•x₂表示，可得到t=2m²-6m+2，配成頂點式得y=2（m-）²-，而-1≤m＜1，根據(jù)二次函數(shù)的增減性質(zhì)得到當m=-1時，t的值最大，此時t=10．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：二次函數(shù)的頂點式、二次函數(shù)的增減性以及二次函數(shù)與一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的聯(lián)系．也考查了代數(shù)式的變形能力．