Question

18．如圖，已知拋物線y=$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D．
（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5，求拋物線的解析式；
（2）過D點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為點(diǎn)M，連接AD，若∠MDA=∠ABD，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

Answer 1

分析 （1）首先求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，然后求出直線BD的解析式，求得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得k的值；
（2）首先設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），由∠MDA=∠ABD，可得△MDA∽△MBD，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答圖2，按照以上兩種情況進(jìn)行分類討論，分別計(jì)算．

解答 解：（1）拋物線y=$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4），
令y=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b經(jīng)過點(diǎn)B（4，0），
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×4+b=0，解得b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴直線BD解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)x=-5時(shí)，y=3$\sqrt{3}$，
∴D（-5，3$\sqrt{3}$）．
∵點(diǎn)D（-5，3$\sqrt{3}$）在拋物線y=$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4）上，
∴$\frac{k}{8}$（-5+2）（-5-4）=3$\sqrt{3}$，
∴k=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$（x+2）（x-4）．

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴DM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，BM=4-x，AM=-2-x，
∵∠MDA=∠ABD，∠AMD=∠DMB，
∴△MDA∽△MBD，
∴$\frac{MD}{MB}$=$\frac{MA}{MD}$，
∴$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}}{4-x}$=$\frac{-2-x}{-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}}$，
解得：x=-5或x=4（舍去）；
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-5，3$\sqrt{3}$）；

（3）由拋物線解析式，令x=0，得y=-k，
∴C（0，-k），OC=k．
∵點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，
∴∠ABP為鈍角．
∴若兩個(gè)三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB，如答圖2所示．
設(shè)P（x，y），過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：$\frac{k}{2}$=$\frac{y}{x+2}$，
∴y=$\frac{k}{2}$x+k．
∴P（x，$\frac{k}{2}$x+k），代入拋物線解析式y(tǒng)=$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4），
得$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4）=$\frac{k}{2}$x+k，整理得：x²-6x-16=0，
解得：x=8或x=-2（與點(diǎn)A重合，舍去），∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AP}$，即$\frac{\sqrt{{k}^{2}+4}}{6}$=$\frac{6}{\sqrt{25{k}^{2}+100}}$，
解得：k=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC=∠PAB，如答圖3所示．
與①同理，可求得：k=$\sqrt{2}$．
綜上所述，k=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或k=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題．考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．注意第（2）問中需要分類討論，避免漏解；在計(jì)算過程中，解析式中含有未知數(shù)k，增加了計(jì)算的難度，注意解題過程中的技巧．