Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系.

小明發(fā)現(xiàn)，利用軸對稱做一個(gè)變化，在BC上截取CA′=CA，連接DA′，得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）.

（1）求證：△ADC≌△A′DC；

（2）試猜想寫出BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

Answer 1

【答案】(1)、答案見解析；(2)、BC=AC+AD；理由見解析

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)角平分線得出∠ACD=∠A′CD，然后得出△ADC和△A′DC全等，從而得出答案；(2)、根據(jù)全等得出DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，CA′=CA，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出答案.

試題解析：(1)、∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠A′CD，

在△ADC和△A′DC中， ， ∴△ADC≌△A′DC（SAS）

(2)、BC=AC+AD；

理由如下：由（1）得：△ADC≌△A′DC， ∴DA′=DA， ∠CA′D=∠A=60°， CA′=CA

∵∠ACB=90°， ∴∠B=90°﹣∠A=30°， ∵∠CA′D=∠B+∠BDA′，∴∠BDA′=30°=∠B，

∴DA′=BA′， ∴BA′=AD， ∴BC=CA′+BA′=AC+AD