Question

如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-4，0）兩點(diǎn)，

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得

△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）設(shè)此拋物線與直線在第二象限交于點(diǎn)D，平行于軸的直線與拋物線交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)N，連接BM、

CM、NC、NB，是否存在的值，使四邊形BNCM的面積S最大？若存在，

請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(1) ∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1,0）B(3,0)兩點(diǎn),

將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，得到：

1+b+c=0

16-4b+c=0

解得：b=-3,c=4

所以，該拋物線的解析式為：y= - x²-3x+4…………（2分）

(2) 存在

可得，C(0,4),  對(duì)稱軸為直線x= - 1.5……………（1分）

當(dāng)QC+QA最小時(shí)，△QAC的周長就最小

點(diǎn)A、B關(guān)于直線x= - 1.5對(duì)稱，

所以當(dāng)點(diǎn)B、Q、C在同一直線上時(shí)QC+QA最小………（1分）

可得：直線BC的解析式為 y=x+4………………………（1分）

當(dāng)x= -1.5時(shí)，y=2.5

∴在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q(-1.5，2.5)，

使得△QAC的周長最小…………………………………（2分）

（3）由題意，M(m,-m²-3m+4)，N（m，-m）

∴ 線段MN= -m²-3m+4-(-m)= -m²-2m+4……………（1分）

∵S_{四邊形BNCM}=S_△BMN+ S_△CMN=MN×BO=2MN

∴S= -2m²-4m+8……………（3分）

= -2(m+1)²+10

∴當(dāng)= -1時(shí)（在內(nèi)），

四邊形BNCM的面積S最大。…………（1分）