Question

如圖：矩形ABCD的頂點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上，A、D在拋物線y=-x²+x上，矩形的頂點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，且矩形在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里．
（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），試求矩形的周長(zhǎng)p關(guān)于變量x的函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）是否存在這樣的矩形ABCD，它的周長(zhǎng)p=9？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）令-x²+x=0，
得：x₁=0，x₂=4，
則拋物線與坐標(biāo)軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為O（0，0）和E（4，0），
設(shè)OB=x（0＜x＜2），由拋物線的對(duì)稱性可知EC=x，則BC=4-2x，
P=2（4-2x+y）=2（4-2x-x²+x）=-x²+x+8（0＜x＜2）．

（2）不存在．
先假設(shè)存在周長(zhǎng)為9的矩形ABCD，則-x²+x+8=9，
化簡(jiǎn)得：4x²-4x+3=0，
則有△=16-48＜0，
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即不存在這樣的矩形．
分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式令y=0，可求出拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），即OB=x，由拋物線的對(duì)稱性可知EC=x，則BC=4-2x，再根據(jù)矩形的面積公式可求出矩形周長(zhǎng)p關(guān)于變量x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）先假設(shè)符合條件的矩形存在，把9代入（1）所求的矩形周長(zhǎng)公式，根據(jù)一元二次方程判別式的情況判斷出方程解的情況即可判斷P是否存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用，同時(shí)要注意總結(jié)這類綜合題的解題思路．