Question

如圖所示，E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形？并說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并等于第三邊的一半，先判斷出AC=BD，又正方形的四個(gè)角都是直角，可以得到正方形的鄰邊互相垂直，然后證出AC與BD垂直，即可得到四邊形ABCD滿足的條件．

解答：解：四邊形ABCD滿足AC=BD，AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形．
理由如下：
∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，且EF=

1

2

AC，
EH∥BD，且EH=

1

2

BD，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=EH，EF⊥EH，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴四邊形ABCD滿足對角線互相垂直且相等時(shí)，四邊形EFGH是正方形．
即四邊形ABCD滿足AC=BD，AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，從結(jié)論是正方形推出需要的條件，這種逆向思維是本題的特點(diǎn)．