Question

如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，AC=6，O是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓．
（1）設(shè)OA=x，則x為多少時(shí)，⊙O與BC相切，
（2）當(dāng)⊙O與直線BC相離或相交時(shí)，分別寫出x的取值范圍．
（3）當(dāng)點(diǎn)O在何處時(shí)，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形．

Answer 1

分析：（1）設(shè)切點(diǎn)為D，連接OD，則OD⊥BC，所以△OBD∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出OA長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)OD的長(zhǎng)，小于OD相離，大于OD相交；
（3）因?yàn)椤螩=90°，當(dāng)AB是直徑即O在AB的中點(diǎn)時(shí)，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，∠C=90°，AC=6，
∴AB=12（1分）
若⊙O與BC相切于點(diǎn)D，連接OD
則OD⊥BC，
∴∠ODB=∠C=90°
又∵∠B=∠B，
∴△OBD∽△ABC
∴

OD

AC

=

BO

BA

，（2分）
設(shè)⊙O的半徑為r，則

r

6

=

12-r

12

（3分）
∴r=4
∴當(dāng)x=4時(shí)，⊙O與BC相切．（4分）

（2）當(dāng)⊙O與直線BC相離時(shí)，0＜x＜4（5分）
當(dāng)⊙O與直線BC相交時(shí)，4＜x≤12（6分）

（3）當(dāng)點(diǎn)O在AB中點(diǎn)時(shí)，OA=OB=OC=6
△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于直線與圓心的距離和半徑的大小來判定．