Question

如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P．
（1）AB的長為

 

；
（2）畫圖：在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)上找一點(diǎn)Q，連接AQ、BQ，使得△ABQ∽△CDB，并直接寫出△ABQ的面積；
（3）tan∠APD的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：網(wǎng)格型

分析：（1）在Rt△ABC中利用勾股定理可計(jì)算出AB；
（2）由于△BCD為等腰三角形，而△ABQ∽△CDB，則△ABQ也為等腰直角三角形，根據(jù)此思路可確定Q點(diǎn)的位置，然后利用AQ=

2

2

AB計(jì)算出AQ，再利用三角形面積公式求解；
（3）作BH⊥PC于H點(diǎn)，則△BHC為等腰直角三角形，所以BH=CH=

2

2

，易得△PDB∽△PCA，所以

PD

PC

=

DB

AC

=

1

3

，利用DC=

2

可得到PC=

3 2

4

，則PH=PC-CH=

2

4

，在Rt△PHB中，根據(jù)正切定義得到tan∠HPB，然后根據(jù)對(duì)頂角相等求解．

解答：解：（1）AB=

BC2+AC2

=

12+32

=

10

；

（2）如圖，△ABQ的面積=

5

2

；

（3）作BH⊥PC于H點(diǎn)，如圖，
∴△BHC為等腰直角三角形，
∴BH=CH=

2

2

BC=

2

2

，
∵DB∥AC，
∴△PDB∽△PCA，
∴

PD

PC

=

DB

AC

=

1

3

，
而DC=

2

，
∴PC=

3 2

4

，
∴PH=PC-CH=

2

4

，
在Rt△PHB中，tan∠HPB=

BH

PH

=

2 2

2 4

=2，
∴tan∠APD=2．
故答案為

10

，2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．