Question

（2013•本溪一模）如圖①，A，D分別在x軸，y軸上，AB∥y軸，DC∥x軸．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1個(gè)單位長度/秒的速度，沿五邊形OABCD的邊勻速運(yùn)動一周，若順次連接P，O，D三點(diǎn)所圍成的三角形的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒，已知S與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖②中折線O′EFGHM所示．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（8，2）

；點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（5，6）

；
（2）若直線PD將五邊形OABCD的周長分為11：15兩部分，求PD的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，根據(jù)圖②中S與t的圖象可知，點(diǎn)P按順時(shí)針方向沿五邊形OABCD的邊作勻速運(yùn)動，又運(yùn)動速度為1個(gè)單位長度/秒，所以DC=5，BC=5，AB=2，AO=8，OD=6，由此得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；過點(diǎn)B作BP⊥OD于P，過點(diǎn)C作CQ⊥BP于Q，根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）先求出五邊形OABCD的周長為26，根據(jù)直線PD將五邊形OABCD的周長分為11：15兩部分，確定點(diǎn)P的位置有兩種可能的情況：①在AB的中點(diǎn)；②在OA上，并且距離點(diǎn)A3個(gè)單位長度．再分別表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出PD的解析式．

解答：解：（1）由題意，可知點(diǎn)P的運(yùn)動路線是：D→C→B→A→O→D，DC=5，BC=10-5=5，AB=12-10=2，AO=20-12=8，OD=26-20=6，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，6）；
如圖①，過點(diǎn)B作BP⊥OD于P，過點(diǎn)C作CQ⊥BP于Q，則四邊形DCQP、ABPO均為矩形，PQ=DC=5，CQ=DP=OD-AB=6-2=4，
在Rt△BCQ中，∵∠BQC=90°，
∴BQ=

BC2-CQ2

=

52-42

=3，
∴BP=BQ+PQ=3+5=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，2）；

（2）設(shè)PD的解析式為y=kx+b．
∵五邊形OABCD的周長為：5+5+2+8+6=26，
∴直線PD將五邊形OABCD的周長分為11：15兩部分時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩種可能的情況：
①如果點(diǎn)P在AB的中點(diǎn)，那么DC+CB+BP=5+5+1=11，PA+AO+OD=1+8+6=15，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，1）．
∵P（8，1），D（0，6），
∴

8k+b=1 b=6

，解得

k=- 5 8 b=6

，
∴PD的解析式為y=-

5

8

x+6；
②如果點(diǎn)P在OA上，并且距離點(diǎn)A3個(gè)單位長度，那么DC+CB+BA+AP=5+5+2+3=15，PO+OD=8-3+6=11，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）．
∵P（5，0），D（0，6），
∴

5k+b=0 b=6

，解得

k=- 6 5 b=6

，
∴PD的解析式為y=-

6

5

x+6．
綜上所述，PD的解析式為y=-

5

8

x+6或y=-

6

5

x+6．
故答案為（8，2），（5，6）．

點(diǎn)評：本題結(jié)合動點(diǎn)問題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，五邊形的周長，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．從函數(shù)圖象中準(zhǔn)確獲取信息及利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．