Question

3．如圖，正方形ABCD，點P是對角線AC上一點，連結(jié)BP，過P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=4$\sqrt{2}$，CQ=10，則正方形ABCD的面積為324．

Answer 1

分析 作PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，利用正方形的性質(zhì)和角平分線上的點到角的兩邊相等以及已知條件即可證明△BPM≌△QPN，得出BM=QN，設BM=x，則NF=x，PM=CM=CN=10+x，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到關(guān)于x的比例式，求出x的值，即可求出正方形的邊長，進而求出其面積．

解答 解：作PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴PM=PN，∠NEM=90°，
∴四邊形PMCN為正方形，∵PQ⊥BP，∴∠BPQ=90°，
∴∠BPM=∠NPQ，
在△BPM和△QPN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BMP=∠QNP}&{\;}\\{∠BPM=∠QPN}&{\;}\\{PM=PN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△QPN（AAS），
∴BM=QN；
設BM=x，則NF=x，
∴PM=CM=CN=10+x，
∴CP=$\sqrt{2}$（10+x），
∵PM∥AB，
∴$\frac{CP}{AP}=\frac{CM}{BM}$，即$\frac{\sqrt{2}（10+x）}{4\sqrt{2}}=\frac{10+x}{x}$，
解得：x=4或x=-10（舍），
∴BM=4，CM=14，
∴BC=BM+CM=18，
∴正方形ABCD的面積為：18×18=324．
故答案為：324．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是作垂線段構(gòu)造全等三角形．