Question

（2005•菏澤）一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m²，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖1，乙設(shè)計(jì)方案如圖2．你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？試說明理由．（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中可保留分?jǐn)?shù)）

Answer 1

【答案】分析：利用正方形的對邊平行．尋找相似三角形，由“相似三角形對應(yīng)邊的比，等于對應(yīng)邊上高的比”的性質(zhì)，列出等量關(guān)系，計(jì)算正方形的邊長x、y，比較大小，選擇合理方案．
解答：解：由AB=1.5m，S_△ABC=1.5m²，可得BC=2m，
由圖1，若設(shè)甲設(shè)計(jì)的正方形桌面邊長為xm，
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
∴，即，
∴3-1.5x=2x，x==，
由圖2，過點(diǎn)B作Rt△ABC斜邊AC上的高，
BH交DE于P，交AC于H．
由AB=1.5m，BC=2m，
得AC==2.5（m），
由AC•BH=AB•BC可得，
BH==1.2m，
設(shè)乙設(shè)計(jì)的桌面的邊長為ym，
∵DE∥AC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴，
即，解得y=，
∵=，
∵x²＞y²，
∴甲同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好．
點(diǎn)評：本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．