Question

【題目】如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸、y軸正半軸上，且四邊形ABCD為矩形，AB=4，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，tan∠ACB=，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）說(shuō)明△AEF與△DCE相似；

（3）點(diǎn)M在第二象限，且在直線BC的下方，點(diǎn)N在平面內(nèi)，是否存在這樣點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且矩形的長(zhǎng)：寬=4：3？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)5；D（3，0）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在，M的坐標(biāo)是（-3，）．

【解析】

試題分析：（1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的長(zhǎng)，求出BC與AC的長(zhǎng)，利用對(duì)稱性確定出D坐標(biāo)即可；

（2）由對(duì)稱性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；

（3）根據(jù)題意得到點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在y軸上，由于矩形的長(zhǎng)：寬=4：3，得到，或，求得BM=或BM=4（不合題意，舍去），于是得到結(jié)論．

試題解析：（1）由題意tan∠ACB=，

∴cos∠ACB=．

∵四邊形ABCO為矩形，AB=4，

∴BC==3，AC==5，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴D（3，0）；

（2）點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，

∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性質(zhì)）

∴∠AEF=∠DCE．

則在△AEF與△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE；

（3）存在，如圖，

∵點(diǎn)M在第二象限，且在直線BC的下方，點(diǎn)N在平面內(nèi)，

∵B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

∴點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在y軸上，

∵矩形的長(zhǎng)：寬=4：3，

∴，或，

∵BC=3，

∴BM=或BM=4（不合題意，舍去），

∴M的坐標(biāo)是（-3，）．