Question

如圖一次函數(shù)y=-

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x+1的圖象與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊三角形△ABC．
（1）求△ABC的面積；
（2）在x軸上，是否存在點(diǎn)M，使△MAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由一次函數(shù)解析式可求出OA、OB的長(zhǎng)度，在Rt△OAB中可求出AB的長(zhǎng)度，再由等邊三角形的性質(zhì)可求出△ABC的面積；
（2）①以AB為腰的等腰三角形有三個(gè)，②以AB為底邊的等腰三角形有1一個(gè)，分別求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)解析式為：y=-

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x+1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A坐標(biāo)為（

3

，0），
∴OA=

3

，OB=1，
在Rt△OAB中，AB=

OB2+OA2

=2，
則等邊三角形ABC的面積為

3

4

AB²=

3

．

（2）存在點(diǎn)M，使△MAB為等腰三角形
①若以AB為腰，如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)M位于M₁位置時(shí)，OM₁=OA+AM₁=OA+AB=2+

3

，
此時(shí)點(diǎn)M₁坐標(biāo)為（2+

3

，0）；
當(dāng)點(diǎn)M位于M₂位置時(shí)，OM₂=OA=

3

，
此時(shí)點(diǎn)M₂坐標(biāo)為（-

3

，0）；
當(dāng)點(diǎn)M位于M₃位置時(shí)，OM₃=AB=2，
此時(shí)點(diǎn)M₃坐標(biāo)為（

3

-2，0）；
②若以AB為底邊，如圖所示：

作AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M₄，則此時(shí)△M₄AB為等腰三角形，
∵OB=1，OA=

3

，
∴∠OAB=30°，
∵AB=2，M₄N是AB的中垂線，
∴AN=1，
在Rt△ANM₄中，AM₄=

AN

cos∠OAB

=

2 3

3

，
則OM₄=OA-AM₄=

3

3

，
則此時(shí)M₄的坐標(biāo)為（

3

3

，0）．
綜上可得存在點(diǎn)M，使△MAB為等腰三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M₁（2+

3

，0）或M₂（-

3

，0）或M₃（

3

-2，0）或M₄（

3

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及了點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)換，含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題需要我們數(shù)形結(jié)合，將所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)串在一起，融會(huì)貫通，靈活求解．