Question

當m為整數(shù)時，關(guān)于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

解：當m為整數(shù)時，關(guān)于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0沒有有理根．理由如下：
①當m為整數(shù)時，假設(shè)關(guān)于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0有有理根，則要△=b²-4ac為完全平方數(shù)，而△=（2m+1）²-4（2m-1）=4m²-4m+5=（2m-1）²+4，
設(shè)△=n²（n為整數(shù)），即（2m-1）²+4=n²（n為整數(shù)），所以有（2m-1-n）（2m-1+n）=-4，
∵2m-1與n的奇偶性相同，并且m、n都是整數(shù)，所以或，
解得m=或m=-（都不合題意舍去）．
②2m-1=0時，m=（不合題意舍去）．
所以當m為整數(shù)時，關(guān)于x的方程（2m-1）x²-（2m+1）x+1=0沒有有理根．
分析：先計算出△并且設(shè)△=（2m+1）²-4（2m-1）=4m²-4m+5=（2m-1）²+4=n²（n為整數(shù)），整系數(shù)方程有有理根的條件是△為完全平方數(shù)．解不定方程，討論m的存在性．變形為（2m-1）²-n²=4，（2m-1-n）（2m-1+n）=-4，利用m，n都為整數(shù)進行討論即可．
點評：考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判別式為△=b²-4ac．△=b²-4ac為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件．同時考查了不定方程特殊解的求法．