Question

已知三角形ABC，AO為底邊BC的中線，AO=CO，延長AO至D，連接BD，CD，
（1）你能說出AB與AC的位置關(guān)系嗎？理由呢？
（2）若∠ABC=∠ACB，求證：△ABD≌△ACD．

Answer 1

分析：（1）AB與AC垂直，由AO為底邊BC的中線，則BO=CO，再由AO=CO得出AO=BO=CO，從而得出∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出∠BAC=90°；
（2）由∠ABC=∠ACB，得出AB=AB，再由AO為底邊BC的中線，則AD垂直平分BC，則DB=DC，即可證明△ABD≌△ACD．

解答：（1）解：AB與AC垂直，理由是：
∵AO為底邊BC的中線，
∴BO=CO，
∵AO=CO，
∴AO=BO=CO，
∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA=180°，
∴∠OAB+∠OAC=90°，
即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；

（2）證明：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AB，
∵AO為底邊BC的中線，
∴AD垂直平分BC，
∴DB=DC，
在△ABD和△ACD中，

AB=AC BD=CD AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，注到線段兩個端點的距離相等的點有兩個時，這兩點確定的直線是這條線段的垂直平分線．