Question

已知等邊△ABC，邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E從A出發(fā)，沿AC的方向在直線AC上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)E的速度為每秒2個(gè)單位，它們同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止．以點(diǎn)E為圓心，DE長(zhǎng)為半徑作圓．設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（l）如圖l，判斷⊙E與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)⊙E與BC切于點(diǎn)F時(shí)，求t的值；
（3）以點(diǎn)C為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作⊙C，⊙C與射線AC交于點(diǎn)G．當(dāng)⊙C與⊙E相切時(shí)，直接寫出t的值為______．

Answer 1

解：（1）AB與⊙E相切，…
理由如下：過點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=60°，
在Rt△ADM中，
∵AD=t，∠A=60°，
∴AM=t，DM=t，
∵AE=2t，
∴ME=t，
在Rt△DME中，DE²=DM²+EM²=3t²，
在△ADE中，∵AD²=t²，AE²=4t²，DE²=3t²，
∴AD²+DE²=AE²，
∴∠ADE=90°，
∴AB與⊙D相切；           …

（2）連接BE、EF，
∵BD、BF與⊙O相切，
∴BE平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴AE=CE，
∵AC=4，
∴AE=2，
∴t=1；                …

（3）t=；
當(dāng)⊙C與⊙E相切時(shí)，DE=EG=2EC，
∵DE=t，
∴EC=t，
有兩種情形：
第一，當(dāng)E在線段AC上時(shí)，AC=AE+EC，
∴2t+t=4，
∴t=，…
第二，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AC=AE-EC，
∴2t-t=4，
∴t=．
故答案為：．
分析：（1）首先過點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，由△ABC為等邊三角形，可得∠A=60°，可得AM=t，DM=t，繼而求得AE與ME的長(zhǎng)，則可得在△ADE中，AD²=t²，AE²=4t²，DE²=3t²，證得AD²+DE²=AE²，繼而證得AB與⊙D相切；
（2）首先連接BE、EF，由切線長(zhǎng)定理可得BE平分∠ABC，然后由等腰三角形的性質(zhì)，求得AE的長(zhǎng)，繼而求得答案；
（3）當(dāng)⊙C與⊙E相切時(shí)，DE=EG=2EC，分別從當(dāng)E在線段AC上時(shí)，AC=AE+EC，與當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AC=AE-EC，去分析求解即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、勾股定理以及逆定理、圓與圓的位置關(guān)系以及切線長(zhǎng)定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．