Question

兩個等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如圖1擺放，其中D點在AB上，連接BE．
（1）則

BE

AD

=

 

，∠CBE=

 

度；
（2）當把△DEF繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時（D點在BC上），連接AD并延長交BE于點F，連接FC，則

BE

AD

=

 

，∠CFE=

 

度；
（3）把△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，請求出∠CFE的度數(shù)

 

．

Answer 1

分析：（1）先證明∠ACD=∠BCE，再根據(jù)邊角邊定理證明△ACD≌△BCE，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等和對應角相等解答；
（2）根據(jù)（1）的思路證明△ACD和△BCE全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等得BE=AD，對應角相等得∠DAC=∠DBF，又AC⊥CD，所以AF⊥BF，從而可以得到C、E、F、D四點共圓，根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°；
（3）同（2）的思路，證明C、F、D、E四點共圓，得出∠CFD=∠CED=45°，而∠DEF=90°，所以∠CFE的度數(shù)即可求出．

解答：解：（1）∵△ABC和△DCE是等腰三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，
因此

BE

AD

=1，∠CBE=45°；

（2）同（1）可得BE=AD，
∴

BE

AD

=1，
∠CBE=∠CAD；
又∵∠ACD=90°，∠ADC=∠BDF，
∴∠BFD=∠ACD=90°；
又∵∠DCE=90°，
∴C、E、F、D四點共圓，
∴∠CFE=∠CDE=45°；

（3）同（2）可得∠BFA=90°，
∴∠DFE=90°；
又∵∠DCE=90°，
∴C、F、D、E四點共圓，
∴∠CFD=∠CED=45°，
∴∠CFE=∠CFD+∠DFE
=45°+90°
=135°．

點評：本題綜合考查了等邊對等角的性質(zhì)，三角形全等的判定和全等三角形的性質(zhì)，四點共圓以及同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運用．