Question

如圖，拋物線與x軸交于A(x₁,0)，B(x₂,0)兩點(diǎn)，且x₁＞x₂，與y軸交于點(diǎn)C(0,4)，其中x₁,x₂是方程x²-2x-8=0的兩個(gè)根.

　　

 (1)求這條拋物線的解析式；

　　(2)點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)△CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

　　(3)探究：若點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△QBC成為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1) ∵x²-2x-8=0 ，∴(x-4)(x+2)=0 .∴x₁=4,x₂=-2.

　　∴A(4,0) ,B(-2,0).

　　又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C,設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c (a≠0)，

　　∴ 　　∴

　　∴所求拋物線的解析式為.

　　(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G.

　　∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)A坐標(biāo)(4,0)，

　　∴AB=6， BP=m+2.

　　∵PE∥AC，

　　∴△BPE∽△BAC.

　　∴.

　　∴.

　　∴S_△CPE= S_△CBP- S_△EBP

　　=.

　　∴

　　 .

　　∴.

　　又∵-2≤m≤4，

　　∴當(dāng)m=1時(shí)，S_△CPE有最大值3.

　　此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0).

　　(3)存在Q點(diǎn)，其坐標(biāo)為Q₁(1，1)，

　　，

　　，

　　，