【題目】已知四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)P,Q在直線BC上,且AP∥DQ,過(guò)點(diǎn)Q作QO⊥BD,垂足為點(diǎn)O,連接OA,OP.
(1)如圖,點(diǎn)P在線段BC上,
①求證:四邊形APQD是平行四邊形;
②判斷OA,OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明;
(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,直接寫(xiě)出BP=1時(shí),△OBP的面積.
【答案】
(1)①證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,
∵AP∥DQ,
∴四邊形APQD為平行四邊形;
②解:結(jié)論:OA=OP,OA⊥OP,理由如下:
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°,
∵OQ⊥BD,
∴∠PQO=45°,
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°,
∴OB=OQ,
在△AOB和△OPQ中,
,
∴△AOB≌△POQ(SAS),
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∴∠AOP=∠BOQ=90°,
∴OA⊥OP
(2)解:如圖,過(guò)O作OE⊥BC于E.
①如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí),
則BQ=1+2=3,OE= BQ= ,
∴S△OPB= ×1× =
②如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí),
則BQ=2﹣1=1,OE= BQ= ,
∴S△PBO= ×1× = ,
綜上所述,△POB的面積為 或 .
【解析】①由四邊形ABCD是正方形,得到AD∥BC,已知AP∥DQ,得到四邊形APQD為平行四邊形;由正方形的性質(zhì)得AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°,已知OQ⊥BD,得到∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°,得到OB=OQ,得到△AOB≌△POQ(SAS),得到OA=OP,∠AOB=∠POQ=90°,即OA⊥OP;②當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí),則BQ=1+2=3,OE= BQ2= 3 2 ,求出△OPB的面積;當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí),則BQ=2﹣1=1,OE=BQ2= 1 2,求出△OPB的面積.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn),則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn),并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積;正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,坐標(biāo)平面上,△ABC≌△DEF全等,其中A、B、C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、E、F,且AB=BC,若A、B、C的坐標(biāo)分別為(﹣3,1)、(﹣6,﹣3)、(﹣1,﹣3),D、E兩點(diǎn)在y軸上,則F點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 .
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(1)求的長(zhǎng);
(2)求圖中陰影部分的面積.
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C.5.1×108
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊AB,BC上,AE=DF=DC.
(1)若∠DFC=70°,則∠C的大小=(度),∠B的大小=(度);
(2)求證:四邊形AEFD是平行四邊形;
(3)若∠FDC=2∠EFB,則四邊形AEFD一定是“菱形、矩形、正方形”中的 .
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【題目】下列語(yǔ)句準(zhǔn)確規(guī)范的是( )
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C. 延長(zhǎng)射線AO到點(diǎn)B D. 直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)N
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【題目】如圖1,將紙片沿中位線折疊,使點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在邊上,再將紙片分別沿等腰和等腰的底邊上的高線,折疊,折疊后的三個(gè)三角形拼合形成一個(gè)矩形,類似地,對(duì)多邊形進(jìn)行折疊,若翻折后的圖形恰能拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形,這樣的矩形稱為疊合矩形.
(1)將紙片按圖2的方式折疊成一個(gè)疊合矩形,則操作形成的折痕分別是線段_____,_____;______.
(2)紙片還可以按圖3的方式折疊成一個(gè)疊合矩形,若,,求的長(zhǎng).
(3)如圖4,四邊形紙片滿足.小明把該紙片折疊,得到疊合正方形.請(qǐng)你幫助畫(huà)出疊合正方形的示意圖,并求出的長(zhǎng).
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【題目】某快餐店共有10名員工,所有員工工資的情況如下表:
人員 | 店長(zhǎng) | 廚師甲 | 廚師乙 | 會(huì)計(jì) | 服務(wù)員甲 | 服務(wù)員乙 | 勤雜工 |
人數(shù) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 2 |
工資額 | 20000 | 7000 | 4000 | 2500 | 2200 | 1800 | 1200 |
請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)餐廳所有員工的平均工資是;所有員工工資的中位數(shù)是 .
(2)用平均數(shù)還是用中位數(shù)描述該餐廳員工工資的一般水平比較恰當(dāng)?
(3)去掉店長(zhǎng)和廚師甲的工資后,其他員工的平均工資是多少?它是否也能反映該快餐店員工工資的一般水平?
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