Question

如圖，等腰Rt△ABC中，AC=BC，以AC為直徑作⊙O交AB于D點(diǎn)，E為CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過E作AE的垂線交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AE、BE、EF，下列結(jié)論：
①AE=BE；②BE=EF；③∠EAC=∠EFC；④∠AED=AFB．
其中正確的個(gè)數(shù)是

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

D
分析：由AC是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，可得CD⊥AB，又由等腰Rt△ABC中，AC=BC，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得CD是線段AB的垂直平分線，即可判定①正確；又由等角的余角相等，證得③∠EAC=∠EFC正確，則可得∠EBC=∠EFC，判定②正確，繼而可得△AEF是等腰直角三角形，則可判定④正確．
解答：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
即CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
即CD是線段AB的垂直平分線，
∴AE=BE；故①正確；
∴∠ABE=∠BAE，
∵∠AME=∠FMC，∠AEF=∠ACF=90°，
∴∠EAC=∠EFC，故③正確；
∵∠CAE+∠BAE=∠EBC+∠ABE，
∴∠EAC=∠EBC，
∴∠EBC=∠EFC，
∴BE=EF；故②正確；
∴AE=EF，
∴∠EAF=45°，
∵∠DAC=45°，
∴∠DAE=∠CAF，
∵∠ADC=∠ACF=90°，
∴∠AED=∠AFB．
故④正確．
故選D．
點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．