Question

某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有15道題，下表是對(duì)于做對(duì)n（n=0，1，2…15）道題的人數(shù)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)，如果又知其中做對(duì)4道題和4道以上的學(xué)生每人平均做對(duì)6道題，做對(duì)10道題和10道題以下的學(xué)生每人平均做對(duì)4道題，問這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人？

n	0	1	2	3	…	12	13	14	15
做對(duì) n道題的人數(shù)	7	8	10	21	…	15	6	3	1

Answer 1

解：設(shè)統(tǒng)計(jì)的總?cè)藬?shù)為x，答對(duì)11道題的人數(shù)為a．
∵做對(duì)4個(gè)題和4個(gè)以上的人數(shù)為（x-7-8-10-21）=（x-46）人，
∴所有學(xué)生做的總題數(shù)為：（x-46）×6+0×7+1×8+2×10+3×21=6x-185；
又∵做對(duì)10個(gè)題和10個(gè)以下的人數(shù)為（x-a-15-6-3-1）=（x-a-25）人，
∴所有學(xué)生做的總題數(shù)為：（x-a-25）×4+15×1+14×3+13×6+12×15+11a=4x+215+7a，
∴6x-185=4x+215+7a，
2x=400+7a，
x=200+a，
∵a為自然數(shù)，
∴當(dāng)a=0時(shí)x取最小值200．
所以至少統(tǒng)計(jì)了200人．
分析：設(shè)統(tǒng)計(jì)的總?cè)藬?shù)為x，答對(duì)11道題的人數(shù)為a，根據(jù)做對(duì)4個(gè)題和4個(gè)以上的人數(shù)乘以其平均分加上做對(duì)4個(gè)以下題的人答對(duì)的總題數(shù)等于所有被統(tǒng)計(jì)的人答對(duì)的總題數(shù)；做對(duì)10個(gè)題和10個(gè)以下的人數(shù)乘以其平均分加上做對(duì)10個(gè)以上題的人答對(duì)的總題數(shù)等于所有被統(tǒng)計(jì)的人答對(duì)的總題數(shù)．做對(duì)10個(gè)題和10個(gè)以下的人數(shù)乘以其平均分加上做對(duì)11，12，13，14道題的人答對(duì)的總題數(shù)等于所有被統(tǒng)計(jì)的人答對(duì)的總題數(shù)列方程求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了加權(quán)平均數(shù)及方程的應(yīng)用，有一定的難度．解題關(guān)鍵是根據(jù)答對(duì)的總題數(shù)不變列方程．