Question

已知拋物線y=x²+mx-

3

4

m²（m＞0）．
（1）求證：該拋物線與x軸必有兩個交點；
（2）若拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B（點A在點B的左側），且AB=4，求m的值；
（3）在條件（2）的前提下，y軸上是否存在點C，使得△ABC為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，利用根的判別式證明即可；
（2）令y=0，解關于x的一元二次方程求出A、B的坐標，然后表示出AB，即可得到m的值；
（3）判斷出△AOC和△COB相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出OC的長，再分點C在y軸負半軸和正半軸兩種情況寫出即可．

解答：（1）證明：令y=0，則x²+mx-

3

4

m²=0，
△=b²-4ac=m²-4×1×（-

3

4

m²）=2m²，
∵m＞0，
∴△＞0，
∴該拋物線與x軸必有兩個交點；

（2）解：令y=0，則x²+mx-

3

4

m²=0，
解得x₁=-

3

2

m，x₂=

m

2

，
∵點A在點B的左側，
∴A（-

3

2

m，0），B（

m

2

，0），
∴AB=

m

2

-（-

3

2

m）=2m=4，
解得m=2；

（3）存在．
理由如下：由（2）得，m=2，點A（-3，0），B（1，0），
∵△ABC為直角三角形，點C在y軸上，
∴∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
即

3

OC

=

OC

1

，
解得OC=

3

，
點C在y軸負半軸時，點C的坐標為（0，-

3

），
點C在y軸正半軸時，點C的坐標為（0，

3

），
綜上所述，y軸上有點C的坐標（0，-

3

），（0，

3

），使得△ABC為直角三角形．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了根的判別式，拋物線與x軸的交點問題，相似三角形的判定與性質，綜合題，但難度不大，（3）點C的坐標要分情況討論．