Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，BC=10．點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x．
①試用含x的代數(shù)式表示BF的長；
②試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長；若不存在，請說明理由；
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時(shí)分成1：2的兩部分？若存在，求出此時(shí)BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知條件得：梯形周長為24，高4，面積為28．
BF=24÷2-x=12-x ，
過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，過點(diǎn)A作AK⊥BC于K，
∵FG∥AK，
∴△BGF∽△BKA，
∴=，
∴FG=，
∴S_△BEF=××x=（7≤x≤10）；

（2）存在．
由（1）得=14，，
解得x₁=7，x₂=5（不合題意舍去），
∴存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時(shí)平分，
此時(shí)BE=7．

（3）不存在，過點(diǎn)F作FM⊥BC于M，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
假設(shè)存在，第一種情況：顯然是：S_△BEF：S_AFECD=1：2，
（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2，
梯形ABCD周長的三分之一為=8，面積的三分之一為．因?yàn)锽E=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴=，
∴FM=，
∴△BEF的面積=-x²+x，
當(dāng)_{梯形ABCD的面積}=時(shí)，
∴=-x²+x，
整理方程得：-3x²+24x-70=0，
△=576-840＜0
∴不存在這樣的實(shí)數(shù)x．
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積．
同時(shí)分成1：2的兩部分．
第二種情況：顯然是：S_△BEF：S_AFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1，
梯形ABCD周長的三分之一為：=8，面積的三分之一為：．因?yàn)锽E=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴=，
∴FM=，
∴△BEF的面積=-x²+x，
當(dāng) _{梯形ABCD的面積}=時(shí)，
∴×2=-x²+x，
整理方程得：3x²-24x+140=0，
△＜0
∴不存在這樣的實(shí)數(shù)x．
即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積，同時(shí)分成1：2的兩部分．
分析：（1）根據(jù)過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，過點(diǎn)A作AK⊥BC于K，得出BF與FG的長即可求出；
（2）利用（1）中所求，解一元二次方程即可求出．
（3）仍然按照（1）和（2）的步驟和方法去做就可以了，注意不是分成相等的兩份，而是1：2就可以了，得到關(guān)于x的一元二次方程，先求出根的判別式△，由于△＜0，故不存在實(shí)數(shù)根．
點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定以及根的判別式和解一元二次方程等知識，根據(jù)已知得出BF與FG的長是解決問題的關(guān)鍵．